Муниципальное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 15

«РАССМОТРЕНО И ПРИНЯТО»
На педагогическом совете
Протокол № 1 от 30.08.2023г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
элективного курса
«Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики»
10-11 класс
Срок реализации: 2 года
Год составления: 2023

Составитель:
Кочарова Карине Суреновна,
высшая квалификационная
категория

г. Комсомольск-на-Амуре, 2023

1. Пояснительная записка
Элективный курс «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей
математики», автор А.Н. Земляков, ориентирован на обучающихся старших классов
общеобразовательных учреждений, реализующих базовую подготовку. Курс дает широкие
возможности повторения и обобщения курса алгебры и основ анализа. В курсе большое число
сложных задач, многие из которых понадобятся, как при учебе в высшей школе, так и при
подготовке к различного рода экзаменов. Структура курса представляет собой шесть логически
законченных и содержательно взаимосвязанных тем, изучение которых обеспечит системность
и практическую направленность знаний и умений учеников.
Курс рассчитан на 70 часов.
Цель курса:
 повторить и обобщить курса алгебры и основ анализа;
 создание условий для формирования и развития у обучающихся навыков анализа и
систематизации полученных ранее знаний, подготовка к ЕГЭ учебе, в высшей школе.
Задачи курса:
 реализация индивидуализации обучения; удовлетворение образовательных потребностей
школьников по алгебре. Формирование устойчивого интереса учащихся к предмету;
 выявление и развитие их математических способностей;
 обеспечение усвоения обучающимися наиболее общих приемов и способов решения
задач и уравнений. Развитие умений самостоятельно анализировать и решать задачи по
образцу и в незнакомой ситуации;
 формирование и развитие аналитического и логического мышления.
 расширение математического представления учащихся по определённым темам,
включённым в программы вступительных экзаменов в другие типы учебных заведений.
 развитие коммуникативных и общеучебных навыков работы в группе, самостоятельной
работы, умений вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д.
Виды деятельности на занятиях: лекция учителя, беседа, практикум, консультация.
Структура курса
Тема 1. Логика алгебраических задач (7 часов)
Элементарные алгебраические задачи как предложения с переменными.
Множество решений задачи. Следование и равносильность (эквивалентность) задач.
Уравнения с переменными. Числовые неравенства и неравенства с переменной. Свойства
числовых неравенств.
Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений.
Системы и совокупности задач.
Алгебраические задачи с параметрами.
Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность.
Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости.
Тема 2. Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения (14 часов)
Представление о целых рациональных алгебраических выражениях. Многочлены над
полями R, Q и над кольцом Z. Степень многочлена. Кольца многочленов.
Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.
Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу:
теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.
Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая теорема Виета.
Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения,
перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.
Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета.

Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена.
Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени.
Угадывание корней и разложение.
Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула
Кардано.
Графический анализ кубического уравнения х3+Ах=В. Неприводимый случай (три корня)
и необходимость комплексных чисел.
Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.
Линейная замена, основанная на симметрии. Угадывание корней. Разложение. Метод
неопределенных коэффициентов. Схема разложения Феррари.
Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и
разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.
Приемы установления иррациональности и рациональности чисел.
Тема 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства (7 часов)
Представление о рациональных алгебраических выражениях. Симметрические,
кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения.
Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.
Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений. Дробно-рациональные
алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.
Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебраических неравенств.
Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.
Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости,
Стандартные неравенства. Метод областей.
Тема 4. Рациональные алгебраические системы (17 часов)
Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными.
Однородные уравнения с двумя переменными.
Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения
переменной. Равносильные линейные преобразования систем.
Однородные системы уравнений с двумя переменными. Замена переменных в системах
уравнений. Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга—Гаусса о
представлении симметрических многочленов через элементарные. Рекуррентное представление
сумм степеней через элементарные симметрические многочлены (от двух переменных).
Системы Виета и симметрические системы с двумя переменными,
Метод разложения при решении систем уравнений.
Методы оценок и итераций при решении систем уравнений.
Оценка значений переменных.
Сведение уравнений к системам.
Системы с тремя переменными. Основные методы.
Системы Виета с тремя переменными.
Тема 5. Иррациональные алгебраические задачи (10 часов)
Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятия арифметических и
алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.
Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.
Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.
Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами,
Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам. Освобождение от
кубических радикалов.
Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности.
Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее
уравнений.

Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от
радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).
«Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем.
Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков
знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных
неравенств.
Замена при решении иррациональных неравенств.
Использование монотонности и оценок при решении неравенств.
Уравнения с модулями. Раскрытие модулей стандартные схемы. Метод интервалов при
раскрытии модулей.
Неравенства с Модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в
неравенствах.
Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах
(«правило знаков»).
Иррациональные алгебраические системы. Основные приемы. Смешанные системы с
двумя переменными.
Тема 6. Алгебраические задачи с параметрами (8 часов)
Что такое задача с параметрами. Аналитический подход. Выписывание ответа (описание
множеств решений) в задачах с параметрами.
Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов.
Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов.
Задачи с модулями и параметром. Критические значения параметра.
Метод интервалов в неравенствах с параметрами.
Замена в задачах с параметрами.
Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с помощью разрешения
относительно параметра.
Системы с параметрами.
Метод координат (Метод «Оха», или горизонтальных сечений) в задачах с параметрами.
Идея метода.
Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических уравнений с
параметрами. Уединение параметра и метод «Оха».
Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных алгебраических неравенств и
систем неравенств с параметрами.
Метод областей в рациональных и иррациональных неравенствах с параметрами.
Замена при использовании метода «Оха».
Задачи с модулями и параметрами.
Задачи на следование и равносильность задач с параметрами. Аналитический подход.
Метод координат.
Применение производной при анализе и решении задач с параметрами.
Требования к подготовке учащихся
Настоящая программа предполагает следующие требования:
 иметь представления о методах и приемах решения иррациональных , рациональных
алгебраических уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств;
 получить навыки построения математической модели( формализации) задач с текстовым
содержанием;
 иметь представление о структуре решения уравнений и неравенств с параметром;
систем уравнений и неравенств с параметром;
 уметь решать прикладные задачи;
 иметь представление о методе интервалов при решении иррациональных неравенств,
неравенств содержащих модуль и неравенств с параметром;
 иметь представление о методе подстановки, методе исключения переменной, о

равносильных линейных преобразованиях систем.
Планируемый результат изучения курса
В результате изучения курса учащиеся должны: уверенно решать указанные в программе
курса вида уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств; решать текстовые задачи
различного уровня сложности; уметь решать нестандартные задачи, связанные с параметрами и
модулями, с графическим способом решения уравнений и неравенств, с применением
производной.
В результате изучения курса учащиеся должны: определять значение функции по
значению аргумента при различных способах задания функции; иметь наглядные
представления об основных свойствах функции, иллюстрировать их с помощью графических
изображений; изображать графики функций, описывать свойства функций, уметь использовать
свойства функций для сравнения и оценки ее значений; применять производную функции при
анализе и решении задач.
Календарно-тематическое планирование
(10 класс)
№

Дата

Название темы

Кол-во
часов

1

Представление о рациональных алгебраических выражениях.

1

2

Симметрические многочлены и уравнения.

1

3

Возвратные многочлены и уравнения.

1

4

Дробно-рациональные алгебраические уравнения.

1

5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

Общая схема решения дробно-рациональных алгебраических
уравнений.
Методы замены при решении дробно-рациональных
уравнений.
Методы замены при решении дробно-рациональных
уравнений. Линейная замена.
Методы замены при решении дробно-рациональных
уравнений. Квадратичная замена.
Дробно-рациональные алгебраические неравенства.
Общая схема решения методом сведения к совокупностям
систем.
Метод
интервалов
решения
дробно-рациональных
алгебраических неравенств.
Метод
интервалов
решения
дробно-рациональных
алгебраических неравенств с многочленами нечетных степеней.
Метод
интервалов
решения
дробно-рациональных
алгебраических неравенств с многочленами нечетных и четных
степеней.
Метод оценки.

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

15

Использование монотонности. Метод замены при при решении
уравнений.

1

16

Уравнения с модулями.

1

17

Стандартные схемы раскрытия модулей.

1

18

Метод интервалов при раскрытии модулей.

1

19

Неравенства с двумя переменными. Множества решений на
координатной плоскости.

1

20

Стандартные неравенства. Метод областей.

1

21

Неравенства с модулями.

1

22

Простейшие неравенства.

1

23

Схемы освобождения от модулей в неравенствах.

1

24
25
26

Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных
неравенствах («правило знаков»).
Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и
дробных неравенствах («правило знаков»).
Уравнения
с несколькими переменными. Рациональные
уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с
двумя переменными.

1
1
1

27

Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки.

1

28

Метод исключения переменной. Равносильные линейные
преобразования систем.

1

29

Однородные системы уравнений с двумя переменными.

1

30

Однородные системы уравнений с двумя переменными.
Решение задач.

1

31

Замена переменных в системах уравнений.

1

32

Система Виета с двумя переменными.

1

33

Симметрические системы с двумя переменными.

1

34

Сведение уравнений к системам.

1

35

Сведение уравнений к системам. Решение задач

1

Календарно-тематическое планирование
(11 класс)
№

Дата

Название темы

Кол-во
часов

1

Метод оценок при решении систем уравнений

1

2

Методы итераций при решении систем уравнений

1

3

Оценка значений переменных.

1

4

Сведение уравнений к системам.

1

5

Системы с тремя переменными. Основные методы.

1

6

Системы Виета с тремя переменными.

1

7

Системы Виета с тремя переменными. Решение упражнений

1

8

9

10
11
12

13

14

15
16
17
18

Представление об иррациональных алгебраических функциях.
Понятия арифметических и алгебраических корней.
Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.
Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной.
Замена с ограничениями. Неэквивалентные преобразования.
Сущность проверки.
Метод эквивалентных преобразований уравнений с
квадратными радикалами. Сведение иррациональных и
рациональных уравнений к системам.
Освобождение от кубических радикалов.
Метод оценки. Использование монотонности. Использование
однородности. Иррациональные алгебраические неравенства.
Почему неравенства с радикалами сложных уравнений
Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные
схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к
системам и совокупностям систем). Дробно-иррациональные»
неравенства. Сведение к совокупностям систем
Теорема о промежуточном значении непрерывной функции.
Определение промежутков знаков постоянства непрерывных
функций. Метод интервалов при решении иррациональных
неравенств.
Замена при решении иррациональных неравенств.
Использование монотонности и оценок при решении
неравенств.
Уравнения с модулями. Раскрытие модулей- стандартные
схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей.
Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы
освобождения от модулей в неравенствах.
Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и
дробных неравенствах («правило знаков»).

1

1

1
1
1

1

1

1
1
1
1

19
20

Иррациональные алгебраические системы. Основные приемы.
Смешанные системы с двумя переменными.
Что такое задача с параметрами. Аналитический подход.
Выписывание ответа (описание множеств решений) в задачах с
параметрами.

1
1

21

Рациональные задачи с параметрами. Запись ответов.

1

22

Иррациональные задачи с параметрами. «Собирание» ответов.

1

23

Задачи с модулями и параметрами. Критические значения
параметра.

1

24

Метод интервалов в неравенствах с параметрами.

1

25

Замена в задачах с параметрами

1

26

Метод разложения в задачах с параметрами. Разложение с
помощью разрешения относительно параметра.

1

27

Системы с параметрами.

1

28
29
30
31

Метод координат (метод «Оха», или горизонтальных сечений)
в задачах с параметрами. Идея метода.
Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных
алгебраических уравнений с параметрами. Уединение
параметра и метод «Оха».
Метод «Оха» при решении рациональных и иррациональных
алгебраических неравенств и систем неравенств с параметрами.
Метод областей в рациональных и иррациональных
неравенствах с параметрами.

1
1
1
1

32

Замена при использовании метода «Оха».

1

33

Задачи с модулями и параметрами

1

34
35

Задачи на следование и равносильность задач с параметрами.
Аналитический подход. Метод координат.
Применение производной при анализе и решении задач с
параметрами

1
1

5. Описание материально-технического, учебно-методического
и информационного обеспечения образовательного процесса.





Александрова Н.В. Математические термины. — М., Высшая школа, i978.
Глейзер ГК История математики в средней школе. — М., 1970.
Кравченко АВ. Знак, значение, знание, — Иркутск, 2001.
Столяр А.А. Как математика ум в порядок приводит. Минск, Высшая школа, 1982.

Литература для учителя:
1. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк.
- М.: Просвещение. - 252с.
2. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк.
- М.: Просвещение. - 252с.
3. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: Учеб. пособие для 9 - 11 кл.
сред. шк. - 3-е изд. перераб. - М.: Просвещение, 1990-160с: ил.
4. Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7 - 9 кл. сред, шк. / сост. И.Л.
Никольская. - М.: Просвещение, 1991 — 383с: ил.
5. Шарыгин И.Ф. Математика для поступающих в вузы: Учеб. пособие. -3-е изд.
стереотип. - М.: Дрофа, 2000 - 416с: ил.
6. Математика для поступающих в вузы: Пособие /Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Г.
Розов. - 4-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2001. - 672с: ил.
7. А.Н. Земляков. Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические
задачи.Элективный курс: Учебное пособие /А.Н.Земляков-М.: БИНОМ.Лаборатория
знаний,2006.-319 с.ил.
Адреса образовательных Интернет ресурсов:
1. WWW. Kengyry. ru –Интернет олимпиада по математике «Кенгуру» .
2. http://matclub.ru – Высшая математика, лекции, примеры решения задач. Математика.
Функции и их графики.
3. WWW.allmath – Вся математика.
4. htt://mathsun.ru – История математики. Биографии великих математиков.
5. WWW.matematik.ru Математика для абитуриентов.
6. WWW/exponenta.ru – Образовательный математический сайт.
7. WWW.math.ru – Образовательный математический сайт.
8. http:// gotovkege.ru– ЕГЭ математика